Представление чисел в форме с плавающей точкой

Для представления чисел, которые по величине находятся за пределами спектра представления чисел с фиксированной запятой, в ЭВМ применяется обычная форма либо форма с плавающей точкой. Хоть какое число в этой форме описывается выражением (7):

, (7)

где: та – мантисса числа;

S – основание системы счисления;

Ра – порядок, т.е. степень, в которую возводится Представление чисел в форме с плавающей точкой основание системы счисления.

Двоичные числа в форме с плавающей точкой записываются последующим образом:

(8)

Порядок Ра определяет положение точки в двоичном числе. Значение порядка находится в спектре:

(9)

Величина определяется числом разрядов k, которые обрисовывают порядок:

(10)

Представление в ЭВМ чисел в обычной форме осуществляется маленьким форматом (2 либо 4 б), длинноватым форматом (4 либо 8 б Представление чисел в форме с плавающей точкой) и форматом завышенной точности (8 либо 16 байтов). Во всех форматах неизменными остаются разряды, отведенные под символ мантиссы, символ порядка и порядок. Меняется только область, отводимая для изображения мантиссы.

Почему числа, представляемые в обычной форме, именуют числами в форме с плавающей точкой (запятой)?

Слова точка и запятая тут носят одно и Представление чисел в форме с плавающей точкой то же смысловое значение. При обыкновенной записи целую часть отделяют от дробной запятой. В ЭВМ для разделения целой и дробной части числа употребляется точка.

Понятие плавающая точка (запятая) разглядим на примере десятичных чисел.

Пример.

Пусть задано число . В обычной форме в согласовании с формулой (3) его можно представить последующим образом:

Тут: числа Представление чисел в форме с плавающей точкой 25; 2,5; 0,25; 0,025; 0,0025 – мантисса та;

10 – основание системы счисления S;

0, 1, 2, 3, 4 – значение порядка Р.

В рассмотренном примере значение величины числа остается неизменным, меняется только место расположения запятой (точки) и, соответственно, порядка. Создается воспоминание, как будто запятая (точка) плавает, перемещается на новое место при изменении значения порядка. Из примера видна неоднозначность представления чисел в Представление чисел в форме с плавающей точкой форме с плавающей точкой, потому в ЭВМ употребляется ограничение вида:

, (11)

где S – основание системы счисления.

Потому что в ЭВМ употребляется двоичная система счисления, то выражение (11) можно записать последующим образом:

(12)

т.е.

. (13)

Это значит, что значение мантиссы числа, представленной в обычной форме, должно находиться в границах от 1 до Представление чисел в форме с плавающей точкой 0,5 (включая и значение 0,5), т.е. мантисса равна (либо больше) 0,5 и меньше 1.

Запись чисел, удовлетворяющих требованиям выражения (11), являет собой нормализованную форму представления чисел.

Примеры записи чисел в форме с плавающей запятой (точкой):

Представим их в обычной форме, чтоб производилось условие (11):

В первом примере значение мантиссы уменьшилось при одновременном увеличении значения порядка, во Представление чисел в форме с плавающей точкой 2-м примере значение мантиссы увеличивалось, а значение порядка уменьшалось.

В ЭВМ для реализации представления в обычной форме употребляют устройство, состоящее из 2-ух блоков, отображающих раздельно мантиссу и порядок. Потому что для чисел в форме с плавающей точкой (запятой) справедливо выражение (11), то хоть какой итог должен удовлетворять этому условию. Процедура Представление чисел в форме с плавающей точкой приведения числа в вид, удовлетворяющий условию (11), именуется нормализацией числа.

В общем случае под нормализованным числом понимается число, в каком целая часть имеет значение нуля, а после запятой (точки) первой является означающая цифра. В десятичной системе счисления это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а в двоичной системе это цифра 1. В рассмотренном ранее примере Представление чисел в форме с плавающей точкой число в нормализованной форме имеет вид:

.

Числа в форме с плавающей запятой описываются 3-мя форматами: маленьким, длинноватым и расширенным (набросок 16).

Набросок 16 - Форматы реальных чисел математического сопроцессора

Все числа с плавающей запятой хранятся в памяти ЭВМ в нормализованном виде. Нормализация может отличаться для различных типов микропроцессоров. Для архитектуры процессоров Intel нормализованным является число Представление чисел в форме с плавающей точкой, в целой части которого находится единица. В нормализованной мантиссе целая часть всегда равна единице, как следует, эта цифра может не записываться. Запись мантиссы начинают с ее 2-ой числа, и это позволяет использовать дополнительный означающий бит для более четкого представления числа. Сокрытая единица при выполнении арифметических операций восстанавливается Представление чисел в форме с плавающей точкой, а при записи результата удаляется. Это справедливо только для недлинного и длинноватого форматов.

Порядок является целым числом. Положительные и отрицательные значения порядков усложняют обработку вещественных чисел. В современных ЭВМ для упрощения операций над порядками, последние приводят к целым положительным числам, применяя смещенный порядок q (черта числа). Для этого Представление чисел в форме с плавающей точкой к настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется целое положительное число - смещение. Величина q определяется последующим равенством:

q = р + смещение (14)

Для каждого из 3-х вероятных форматов вещественных чисел смещение имеет различное, но фиксированное для определенного формата значение, которое находится в зависимости от количества разрядов, отводимых под характеристику. К примеру, в Представление чисел в форме с плавающей точкой маленьком формате для записи свойства отводится 8 бит, потому смещение равно 127, в длинноватом смещение равно 1023, а в расширенном - 16383.

Таким макаром, из вышесказанного вытекает последующий метод для получения представления реального числа в памяти ЭВМ:

1) перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;

2) восстановить двоичное число, т.е. записать Представление чисел в форме с плавающей точкой в виде т *2Р, где т - мантисса (ее целая часть равна 1(2)) up - порядок, записанный в десятичной системе счисления;

3) прибавить к порядку смещение и перевести смещенный порядок в двоичную систему счисления;

4)беря во внимание символ данного числа (0 - положительное; 1 - отрицательное), выписать его представление в памяти ЭВМ.

Пример. Записать вещественное число 45,56(10) с точностью Представление чисел в форме с плавающей точкой до 5 символов после запятой в маленьком формате.

Решение:

1) Переведем десятичную дробь в двоичное представление. Метод перевода описан выше.

45,56(10)=101101,10001(2)

2) Нормализуем число. Для этого переносим запятую на лево до того времени, пока в целой части числа не остается одна двоичная единица. Число переносов на лево (либо на право, если десятичное число было меньше Представление чисел в форме с плавающей точкой 1) будет являться порядком числа.

Имеем 101101,10001 = 1,0110110001*25.

3) р = 5. Получаем смещенный порядок 5 + 127 = 132. Дальше имеем

132(10) = 10000100(2).

4) Совсем:

(т.к. число записано в маленьком формате единица в целой части числа не учитывается).

Компактней приобретенный код можно записать последующим образом: 42362000(16).

Методические указания к ответам на вопросы

Задание для домашней контрольной работы, не считая задач содержит в себе ещё Представление чисел в форме с плавающей точкой и 4 теоретических вопроса. Каждый вопрос относится к определённой теме, потому, до того как на него отвечать, нужно изучить и законспектировать материал всей темы в согласовании с программкой.

1-ый вопрос относится к теме 2.3 Внутренняя организация микропроцессора.

2-ой вопрос - по теме 2.4 Организация работы памяти компьютера.

3-ий вопрос - по теме Представление чисел в форме с плавающей точкой 2.5 Система ввода – вывода. Интерфейсы.

4-ый вопрос по темам 3.1 Организация вычислений в вычислительных системахи 3.2Систематизация вычислительных систем.


ЛИТЕРАТУРА

1. Бройдо В.Л. Вычислительные системы, сети и телекоммуникации - СПб: Питер, 2002.

2. Воеводин В.В. Параллельные вычисления. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

3. Гук М. Микропроцессоры Pentium III, Athlon и другие. - СПб.: Питер, 2000.

4. Гук М. Шины PCI, USB и Представление чисел в форме с плавающей точкой FireWire: Энциклопедия. - СПб: Питер. 2005.

5. Максимов Н.В., Партыка Т.Л., Попов И.И. Архитектура ЭВМ и вычислительных систем - М.: ФОРУМ – ИНФРА - М, 2005.

6. Пятибратов А.П., Гудыно П.П. Вычислительные системы, сети и телекоммуникации. - М.: Деньги и статистика, 2003.

7. Таненбаум Э. Архитектура компьютера. -4 изд-е. - СПб.: Питер, 2002.


Содержание

Объяснительная записка 3

1 Учебно-методическая Представление чисел в форме с плавающей точкой карта 4

2 Содержание дисциплины 6

3 Методические указания по выполнению домашней

контрольной работы 39

Литература 61


predstaviteli-nko-mogut-besplatno-projti-obuchenie-v-shkole-reklamnih-kommunikacij.html
predstaviteli-pravitelstva-priangarya-viehali-v-zhigalovo-chtobi-opredelit-zadachi-po-gazifikacii-na-2013-god.html
predstaviteli-rannego-italyanskogo-vozrozhdeniya.html